Questa è la retta dei numeri. ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * ---------------------------- ******************************* [Immaginate che la retta continui all'infinito in entrambe le direzioni.] I numeri possono essere divisi in tre categorie: i numeri **positivi**, i numeri **negativi**, e lo zero. Con numeri *positivi* intendo tutti i numeri maggiori di zero (cioè dallo zero in poi, non compreso). Con i numeri *negativi* intendo tutti i numeri minori di zero (cioè tutti i numeri fino allo zero, non compreso). Quando disegno i numeri *positivi* sulla retta dei numeri faccio una linea che copre tutti i numeri a destra dello zero. Per indicare che lo zero non è compreso, lo indico con un pallino vuoto: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * o------------- ******************************* Quando disegno i numeri *negativi*, invece, faccio una linea che copre tutti i numeri a sinistra dello zero (ancora indicato da un pallino vuoto). ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --------------o ******************************* Quando dovrò riferirmi ai numeri dallo zero *compreso* in poi, li chiamerò numeri **non negativi**. Per indicare tutti i numeri fino allo zero *compreso* utilizzerò il termine numeri **non positivi**. Nel disegnare questi numeri, per indicare che lo zero è compreso, lo segnerò con un pallino pieno. Questi sono i numeri *non negativi*: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * *------------- ******************************* Questi, invece, i *non positivi*: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --------------* ******************************* Per parlare di tutti i numeri eccetto lo zero, dirò numeri **non nulli**. Li possiamo disegnare così, segnando la mancanza dello zero con un pallino vuoto: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --------------o------------- ******************************* Quando parlo di numeri **interi**, mi riferisco a tutti quelli che scriviamo senza virgola, ad esempio: 1, -1, 2, -2. Per disegnarli nella retta dei numeri, faccio un pallino pieno in corrispondenza a ogni numero intero: ****************************** * -3 -2 -1 0 1 2 3 * * * * * * * * * ****************************** Per fare un altro esempio, questi sono i numeri *interi positivi*: ****************************** * -3 -2 -1 0 1 2 3 * * * * * ******************************

Finora, abbiamo passato il tempo a capire quali numeri e operazioni esistono. Penso che nessuno possa mettere in dubbio che nella vita sia utile sapere cosa sono le somme e le divisioni. *Qual è il prossimo passo?* Uno studente potrebbe chiedersi, per esempio: «ho preso un sei e mezzo e un sette; che voto devo prendere per avere la media dell'otto?». In questo caso, la domanda è più complessa rispetto a un «quanto fa cinque per tre?». Abbiamo un numero - il voto che dobbiamo prendere - che non conosciuamo a priori, ma che possiamo scoprire. Questo ci porta alle *equazioni*, in cui avremo spesso uno (o più) numeri di cui non conosciamo a priori il valore.

Alcuni esempi semplici di equazioni sono: > Il doppio di due è quattro. > Sette è la metà di quattordici. > Due è uno più uno. Il nome "equazione" deriva da "uguagliare". In un'equazione abbiamo due parti (chiamate **parte sinistra** e **parte destra**) che noi affermiamo essere *uguali* tra loro. Parte Sinistra | Parte Destra ---------|------- Il doppio di due | Quattro Sette | Metà di quattordici Due | Uno più uno Uno potrebbe giustamente chiedere: «come facciamo a sapere che queste equazioni siano vere?». È una domanda lecita che affronteremo in seguito. Per ora crediamo agli insegnanti di matematica. In realtà, potremmo anche dire "uno più uno è tre". In questo caso, l'equazione sarebbe **falsa**. Se, invece, le due parti sono effettivamente uguali tra loro diciamo che l'equazione è **vera**. Proviamo a vedere cosa succede se aggiungo un numero che non conosco: > Un numero è il doppio di dieci. > Non sappiamo a priori quale sia questo numero. Lo chiamamo **incognita**. È facile vedere che se sostituiamo "un numero" con cinque, l'equazione sarà *vera*. Per qualsiasi altro valore sarà *falsa*. Chiamiamo **soluzioni** i numeri con cui possiamo sostituire le incognite ottenendo un'equazione vera. In questo caso, la soluzione è **cinque**. A volte protremmo decidere di poter sostituire le incognite solo con alcuni numeri, non tutti. Ad esempio, i voti vanno solo da 0 a 10. I numeri con cui possiamo sostituire le incognite si chiamano **dominio**. Il dominio non dobbiamo calcolarlo, lo decidiamo noi. A volte protremmo incontrare anche più di un'incognita. Ad esempio, ecco un'equazione con due incognite chiamata *identità*: > Ho due numeri. Il primo numero è il secondo. > Se sostituiamo i due numeri con - per esempio - tre e cinque otteniamo "tre è cinque", chiaramente falso. Invece, sostituendo con tre e tre otteniamo "tre è tre", vero. Quindi tre e cinque non sono una soluzione, tre e tre sì.

Molto spesso è più facile capire *quando* un'equazione è vera grazie ai grafici. In generale, nella matematica è sempre utile fermarsi e fare qualche disegno per assicurarsi di avere chiara in mente un'idea di cosa si sta parlando. Tutto sta a capire quale sia la maniera più corretta o utile di fare grafici e disegni. Addirittura, a volte esistono vari modi di rappresentare lo stesso concetto. In questi appunti io proporrò sempre solo alcuni di questi possibili metodi: quelli che, secondo me, ci aiutano di più. Torniamo un attimo sulla nostra equazione a *una* incognita: «Ho un numero; questo numero è la metà di dieci». Possiamo disegnare con un pallino pieno sulla retta dei numeri tutti i valori per cui questa equazione è vera: ******************************* * 0 1 2 3 4 5 6 * * * ******************************* Abbiamo un pallino corrispondente alla nostra soluzione. Non sempre è così semplice: possiamo avere anche due soluzioni, o infinite, o nessuna. Il nostro obiettivo è studiare in modo simile anche le equazioni con due incognite. Nell'asse dei numeri, ogni punto corrisponde a un numero. In questo modo, possiamo colorare tutti i punti corrispondenti alle soluzioni. Se abbiamo due incognite, possiamo disegnare un'asse dei numeri per ogni incognita: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * ----------------------------- * * * * ----------------------------- * -3 -2 -1 0 1 2 3 ******************************* Visto che ogni soluzione - quando si hanno due incognite - è composta da due numeri, possiamo disegnare una linea che parta dal primo numero e lo colleghi al secondo. Ad esempio, se abbiamo 2 e 1 come soluzione, ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * ----------------------+------ * / * / * / * ------------------+---------- * -3 -2 -1 0 1 2 3 ******************************* Un altro tipo di grafico (chiamato **grafico cartesiano**) rappresenta le soluzioni come punti invece di linee; per fare questo, abbiamo bisogno che ogni punto corrisponda a due numeri diversi. Per fare questo, disponiamo le due rette dei numeri a croce: ******************************* * | * | * | * | * | * ------------+------------ * | * | * | * | * | ******************************* Queste due rette dei numeri, in questo caso, sono chiamate **assi**. Ogni punto di questo grafico corrisponderà a due numeri: uno sarà il suo valore sull'asse verticale, l'altro il suo valore sull'asse orizzontale. Ad esempio, se abbiamo come soluzione 5 e 3: ![](MathAssets/graph0.svg width=250px) Per convenzione, rappresentiamo il primo dei due numeri sull'asse orizzontale e lo chiamiamo **componente orizzontale**. Invece, rappresentiamo il secondo numero sull'asse verticale e lo chiamiamo **componente verticale**.

A questo punto, siamo pronti per *disegnare* le equazioni a due incognite. Iniziamo dal primo tipo di grafico. Visto che tutte le equazioni di cui parleremo hanno infinite soluzioni, in teoria dovremmo disegnare infinite linee; visto che ciò è impossibile, ne disegneremo solo qualcuna di esempio, solitamente quelle corrispondenti ai numeri interi. Iniziamo dall'identità. Perché l'identità sia vera le due incognite devono essere uguali tra loro. Le soluzioni saranno: 0 e 0, 1 e 1, -1 e -1, e così via. In pratica, dobbiamo fare una linea da ogni numero al suo corrispondente sull'altra asse: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --+---+---+---+---+---+---+-- * | | | | | | | * | | | | | | | * | | | | | | | * --+---+---+---+---+---+---+-- * -3 -2 -1 0 1 2 3 ******************************* Se invece abbiamo un'equazione come *"il primo numero più uno è il secondo"*, dobbiamo collegare ogni numero nella prima asse nel corrispettivo nella seconda, più uno: ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --+---+---+---+---+---+---+-- * \ \ \ \ \ \ \ * \ \ \ \ \ \ \ \ * \ \ \ \ \ \ \ * --+---+---+---+---+---+---+-- * -3 -2 -1 0 1 2 3 ******************************* Passiamo al secondo tipo di grafico, dove i due numeri diventano componenti orizzontali e verticali. Iniziamo dall'*identità*. Perché l'identità sia vera, serve che le due incognite siano uguali tra loro; ovvero, che la *componente orizzontale* sia uguale alla *componente verticale*. I punti che corrispondono a questa descrizione sono quelli della linea inclinata a 45° (ovvero, esattamente a metà tra orizzontale e verticale) che passa per il centro: ![Tutti questi punti hanno componente verticale uguale alla componente orizzontale; quindi, i due numeri che quel punto rappresenta sono uguali; ed essendo uguali sono soluzioni dell'identità.](MathAssets/graph1.svg width=250px) Vediamo un altro esempio di grafico di equazione. > Ho due numeri. > Il primo è il doppio del secondo. Visto che rappresentiamo il primo numero con la componente orizzontale e il secondo con la componente verticale, le soluzioni saranno tutti i punti che > hanno componente orizzontale doppia rispetto alla componente verticale. > Ovvero, andando a disegnare questi punti: ![Tutti questi punti hanno componente orizzontale doppia rispetto alla componente verticale.](MathAssets/graph2.svg width=250px) In pratica, è la linea che - su un quaderno quadrettato - ha l'inclinazione di "due quadretti verso destra, uno verso l'alto".

Supponiamo di avere un'equazione del tipo > Il voto in pagella è la media tra 7, 5, 6 e il voto della prossima verifica. > In questo caso, "voto in pagella" e "voto della prossima verifica" sono le incognite. I voti possono essere solo da 0 a 10, che quindi scegliamo come *dominio* di entrambe le incognite (ovvero, decidiamo che le incognite possono avere solo quei valori). Però, se il voto nella prossima verifica fosse 10, il voto in pagella sarebbe al massimo 7; e se anche l'ultimo voto fosse 0 il voto in pagella sarebbe 4½. Quindi, nonostante il dominio del voto in pagella sia da 0 a 10, gli unici valori che possono essere soluzioni sono tra 4½ e 10. > L'insieme dei valori che un'incognita può assumere nelle soluzioni è chiamato **immagine**. > Quindi, l'*immagine* del "voto in pagella" sono i numeri tra 4½ e 10. Invece nella prossima verifica potrei prendere qualsiasi voto; quindi l'immagine di "voto della prossima verifica" è da 0 a dieci, come il dominio. Vediamo ora il primo tipo di grafico dell'equazione sopra: ![](MathAssets/graph21.svg width=250px) Visto che l'immagine sono tutti i possibili valori di un'incognita che possono essere soluzioni, e le soluzioni in questo grafico sono segnate dalle linee, avremo che l'immagine di un'incognita saranno tutti i numeri che toccano una linea. Infatti, vediamo che nella prima linea dei numeri (che corrisponde all'incognita "voto alla prossima verifica") tutti i numeri da 0 a 10 hanno la propria soluzione, mentre nella seconda linea (che corrisponde all'incognita "voto in pagella") solo i numeri da 4½ a 7 hanno una soluzione. Vediamo la stessa equazione nel secondo tipo di grafico: ![](MathAssets/graph22.svg width=250px) Sull'asse verticale abbiamo "Voto in pagella"; vediamo che l'asse va da 0 a 10 (che è tutto il dominio); però, abbiamo che tutti i punti grigi che abbiamo disegnato hanno componente verticale tra 4½ e 7, che infatti è l'immagine. Ho segnato sull'asse verticale tutte le possibili componenti verticali (quindi, l'immagine) in rosso. Sull'asse orizzontale abbiamo "voto alla prossima verifica". Vediamo che a ogni componente orizzontale che scegliamo ci sarà sempre un punto corrispondente; quindi l'immagine è tutto il dominio.

Quando abbiamo un'equazione a due incognite possiamo sostituire una delle due incognite con un numero; in questo modo, otteniamo un'equazione a una incognita. Ad esempio, se nell'equazione identità (*"il primo numero è il secondo numero"*) decidiamo che il secondo numero è tre, otteniamo *"il primo numero è tre"*, che ha una sola incognita. Questo processo di sostituzione di un'incognita con un numero si chiama **sostituzione**. Vediamo il suo effetto nei due tipi di grafici. ******************************* * -3 -2 -1 0 1 2 3 * --------------+-------+------ * / \ \ * / \ \ * / \ \ * ----------+-------+-------+-- * -3 -2 -1 0 1 2 3 ******************************* In questo grafico abbiamo come soluzioni le coppie "0 e 1", "0 e -1" e "2 e 3". Se sostituiamo la prima incognita con 0, per esempio, ci interessano solo le soluzioni che hanno 0 come prima incognita: -1 e 1. Se invece sostiuiamo con 2, ci interessano solo le soluzioni che hanno 2 come prima incognita, quindi 3. In pratica, se sostituiamo un'incognita con un numero, le soluzioni che otteniamo sono quelle collegate con una linea al numero che abbiamo scelto. Ora, cerchiamo di capire cosa succede se sostituiamo un'incognita nei grafici cartesiani. Per esempio, sostituire la seconda incognita con 3. Visto che la seconda incognita è la componente verticale, andiamo a segnare (in viola) sul grafico i numeri con componente verticale 3. Gli altri punti non avranno 3 come secondo numero, quindi non ci interessano. ![](MathAssets/graph4A.svg width=250px) Questi (in viola) sono gli unici punti che possono interessarci dopo la sostituzione, e formano quindi la nostra nuova linea dei numeri. Rimane solo capire quali punti di questa linea siano le soluzioni. Disegnamo per esempio il grafico dell'identità: ![](MathAssets/graph4.svg width=250px) Tutti i punti segnati in grigio sono soluzioni dell'identità. Visto che ci interessano solo quelle nella nuova linea dei numeri, *le soluzioni saranno quelle in cui il grafico dell'identità tocca la linea* viola. Infatti, se un punto è nella linea viola significa che ci interessa ancora dopo la sostituzione; se è nel grafico significa che è una soluzione; quindi se è in entrambi significa che è una soluzione che ci interessa ancora dopo la sostituzione. Se invece avessimo sostituito la prima incognita invece della seconda, avremmo determinato la componente orizzontale e avremmo ottenuto una nuova linea dei numeri verticale: ![](MathAssets/graph4B.svg width=250px) !!! Sostituire la **prima incognita** è scegliere la **componente orizzontale** e ci da una **linea dei numeri verticale**. Sostituire la **seconda incognita** è scegliere la **componente verticale** e ci da una **linea orizzontale**.

Abbiamo visto che il *dominio di un'incognita* sono tutti i valori che quell'incognita può assumere, mentre *l'immagine di un'incognita* sono tutti i valori per cui esistono soluzioni. Se un numero è una soluzione, deve necessariamente essere nel dominio, altrimenti non sarebbe una soluzione. Quindi, i numeri nell'immagine (che sono soluzioni) sono tutti nel dominio. Ovvero: l'immagine è sempre un *sottoinsieme* del dominio. Non sempre, invece, tutti i numeri del dominio sono nell'immagine (ovvero, non tutti i numeri con cui possiamo sostituire un'incognita potrebbero essere soluzioni). L'abbiamo visto con l'esempio dei voti: avevamo un dominio da 0 a 10, ma un'immagine da 4½ a 7. > Quando, invece, l'immagine del dominio è uguale al dominio, che l'incognita è **coperta** (perché l'immagine dell'incognita "copre" il dominio). > *Nel grafico con le due assi dei numeri parallele* il dominio sono le linee dei numeri e l'immagine tutti i punti che toccano una linea. Per esempio, in ![](MathAssets/graph21.svg width=250px) Abbiamo che da tutti i numeri nella prima asse parte una linea, quindi la prima incognita è coperta. Invece, la seconda incognita ha soluzioni solo tra 4½ e 7, quindi non è coperta. Se un'incognita è coperta significa che se la sostituisco con un qualsiasi numero avrò sempre almeno una soluzione. Questo perché le soluzioni sono le linee che partono dal punto che abbiamo deciso di sostituire, e le incognite coperte hanno una linea in ogni punto. Nell'altro tipo di grafico, sostituire la prima o seconda incognita ci dà una linea dei numeri verticale od orizzontale rispettivamente. Le soluzioni sono i punti del grafico che toccano la nuova linea. Abbiamo visto che se la prima o seconda incognita è coperta allora ci sarà sempre almeno una soluzione dopo la sostituzione, ovvero la linea (verticale od orizzontale rispettivamente) toccherà sempre il grafico in almeno un punto. Ad esempio, vediamo che l'identità ha entrambe le incognite coperte: ![Ho disegnato una linea orizzontale per controllare che la seconda incognita sia coperta e un paio verticali per la prima incognita; in tutti questi casi, le linee incontrano il grafico almeno in un punto. Questo è chiaramente vero per tutte le linee verticale e orizzontali.](MathAssets/graph6.svg width=250px) Prendendo invece, per esempio, questo grafico: ![Tutte le linee verticali icontrano almeno un punto, quindi la prima incognita è coperta. C'è almeno una linea orizzontale senza soluzioni, la seconda incognita non è coperta.](MathAssets/graph8.svg width=250px)

Prendiamo l'equazione *"Ho due numeri. Il primo per zero è il secondo"*. Possiamo facilmente notare che qualsiasi numero moltiplicato per zero è zero, quindi in tutte le soluzioni la seconda incognita sarà zero; la prima incognita, invece, potrebbe essere qualsiasi (perché moltiplicata per zero farà sempre zero). Quindi, il suo grafico avrà questo aspetto: ![](MathAssets/graph23.svg width=250px) Vediamo che se sostituiamo la prima incognita con qualsiasi numero avremo sempre e comunque una soluzione: zero. Invece, se sostituiamo la seconda incognita con zero avremo che qualsiasi numero sarà soluzione per la prima incognita. Il che ci porta a questa definizione: > Un'incognita è **uno a uno** se, sostituendola con un numero, abbiamo *al massimo* una soluzione. > Che corrisponde, in questo tipo di grafico, a > Un'incognita è **uno a uno** se c'è sempre al massimo una linea che ne tocca i numeri sull'asse. > Visto che nel grafico cartesiano il numero di soluzioni dopo una sostituzione è il numero di volte in cui il grafico tocca la nuova linea dei numeri, abbiamo anche che > La prima o seconda incognita è **uno a uno** se il suo grafico cartesiano tocca qualsiasi linea verticale od orizzontale (rispettivamente) in al massimo un punto. > Vediamo che entrambe le incognite dell'identità - oltra a essere coperte - sono anche uno a uno: ![Tracciando le linee esattamente come prima, vediamo che non incrociano mai il grafico in più di un punto.](MathAssets/graph6.svg width=250px) Infatti, se - per esempio - sostituisco una delle incognite con tre, l'unica soluzione sarà *tre è tre*. Tutte le altre combinazioni (*cinque è tre*, *meno due è tre*) non saranno soluzioni. Prendendo in esempio l'equazione che ha questo grafico, come nella scorsa sezione: ![Qualsiasi linea verticale incontrerà il grafico al massimo in un punto, quindi la prima incognita è uno a uno. Una linea linea orizzontale incontra il grafico in due punti, quindi la seconda incognita non è uno a uno.](MathAssets/graph8.svg width=250px)

Visto che **incognita coperta** significa *"c'è sempre almeno una soluzione"* (dopo una sostituzione) e **incognita uno a uno** significa *"c'è sempre non più di una soluzione"*, possiamo unire le due cose e vedere che una **incognita coperta uno a uno** avrà - dopo una sostituzione - sempre *una e una sola soluzione*. Ovvero, se decidiamo un valore per quell'incognita, ci sarà una sola soluzione dell'equazione; in questo caso, diciamo che > Se un'incognita è *coperta* e *uno a uno*, allora diciamo che l'equazione è **in funzione di quell'incognita**. > Nel caso dell'identità, per esempio, abbiamo visto che entrambe le incognite sono coperte e uno a uno, quindi l'identità e *in funzioni di* entrambe le incognite (ovvero, se sostituisco una delle due incognite con un valore, ci sarà sempre uno e un solo risultato). Abbiamo un nome anche per questo caso: > Quando un'equazione è in funzione di entrambe le incognite, la chiamiamo **biunivoca**. > Perché *"biunivoca"*? Abbiamo visto che se sostituiamo un'incognita con un qualsiasi valore, allora avremo una e una sola soluzione. In pratica, a ogni valore di un'incognita corrisponde una e una sola soluzione nell'altra incognita; ovvero, c'è una *corrispondenza biunivoca* tra i valori delle due incognite. > D'ora in poi, per semplicità, chiameremo **funzioni** le equazioni in funzione della prima incognita. > Sempre per semplicita, le funzioni la cui seconda incognita è coperta saranno **funzioni coperte**, e le funzioni la cui seconda incognita è uno a uno saranno **funzioni uno a uno**. Abbiamo visto che in una funzione, nel momento in cui decidiamo con cosa sostituire la prima incognita, avremo *una e una sola soluzione*. Ovvero, la soluzione è *in funzione* del numero con cui sostituiamo, perché dipende solo da quello. ![](MathAssets/graph9.svg width=250px) Quindi, nel momento in cui decidiamo il numero con cui sostituire, otteniamo la soluzione corrispondente. C'è un modo più veloce di dire "la soluzione corrispondente alla sostituzione dell'incognita con il numero...", ed è: > **La funzione di un numero** è la soluzione che otteniamo sostituendo l'incognita corrispondente con quel numero. > Alcune funzioni hanno un nome, per esempio *l'identità*. Abbiamo anche la funzione chiamata *doppio* definita come "il primo numero per due è il secondo". In questi casi, possiamo dire: > *L'identità di tre* è tre. *Il doppio di cinque* è dieci > Perché, in quest'ultimo caso, se sostituisco la prima incognita con cinque ottengo "cinque per due è il secondo numero", e l'unica soluzione è dieci. In generale, > *Il doppio di un numero* è il numero per due > Questo modo di esprimere le funzioni è così comodo che solitamente si definiscono così. Per esempio, se io dico > *La funzione di un numero* è tre volte quel numero più due > La funzione di cui parlo è l'equazione "il primo numero per tre più due è il secondo numero".

Ora che abbiamo messo le fondamenta per capire come si comportano le funzioni e - più in generale - le equazioni, è ora di vederne diversi tipi nello specifico. La classe che si incontra più di frequente sono le funzioni lineari (ovvero, le funzioni il cui grafico cartesiano è una linea). Ne abbiamo visto un esempio già solo con l'equazione riguardante la media dei voti: ![](MathAssets/graph22.svg width=250px) In generale, è molto facile avere una funzione lineare quando le due incognite sono proporzionali. In questo caso, il voto in pagella è proporzionale al voto nella prossima verifica. Studieremo le caratteristiche base di una funzione lineare: la sua inclinazione, la sua altezza, e così via.

L'esempio più semplice di funzione lineare è l'identità. Abbiamo visto che il suo grafico sono tutti i punti la cui componente verticale è uguale alla componente orizzontale: ![](MathAssets/graph1.svg width=250px) Su un quaderno a quadretti, è la linea con l'inclinazione "un quadretto verso destra, un quadretto verso l'alto". Vediamo ora la funzione *metà*. Sappiamo che *"la metà di un numero è il numero diviso due"*; ovvero, espresso come equazione, *"il secondo numero è la metà del primo"*. Se vogliamo disegnarne il grafico, ci interessano tutti i punti dove la componente verticale è metà della componente orizzontale: ![](MathAssets/graph2.svg width=250px) Su un quaderno a quadretti, è la linea con l'inclinazione "due quadretti verso destra, un quadretto verso l'alto" (o, *"un quadretto a destra, mezzo quadretto verso l'alto"*). Infine, guardiamo la funzione *doppio*, che espressa come equazione è "il secondo numero è il doppio del primo", ovvero la componente verticale è il doppio della componente orizzontale: ![](MathAssets/graph24.svg width=250px) In questo caso, l'inclinazione è "un quadretto a destra, due quadretti verso l'alto". Per fare un altro esempio, questa è la linea con l'inclinazione "due quadretti verso destra, tre quadretti verso l'alto": ![](MathAssets/graph25.svg width=250px) Siamo abituati a misurare l'inclinazione (o, in generale, gli angoli) usando i gradi. Spesso, però, sono un po' scomodi. Intanto, non abbiamo attualmente nessun modo di trasformare un'inclinazione come "due quadretti verso destra, tre quadretti verso l'alto" in gradi. E allo stesso tempo se ci venisse chiesto di disegnare una linea inclinata di 56° non sapremmo - a occhio - da dove iniziare. Dimentichiamoci dell'esistenza dei gradi e cerchiamo di formalizzare questo concetto dell'inclinazione "tot quadretti verso destra e tot verso l'alto".

Iniziamo dal dire che "un quadretto a destra, uno verso l'alto" è la stessa cosa di "due quadretti verso destra, due verso l'alto". Ci sono diversi modi di esprimere la stessa inclinazione. In generale, se moltiplico entrambi i numeri per lo stesso valore otterrò la stessa inclinazione: Per esempio, ecco "due quadretti verso destra, quattro verso l'altro" moltiplicato per vari fattori; è facile vedere che in tutti i casi parliamo della stessa inclinazione: Fattore | Quadretti verso destra | Quadretti verso l'alto ---------- | ------------------ | ------------ uno | due | quattro due | quattro | otto un mezzo | uno | due meno uno | meno due | meno quattro Per questo motivo, a noi interessa il *rapporto* che abbiamo tra *Quadretti verso destra* e *Quadretti verso l'alto*. Ovvero: possiamo notare che i "quadretti verso l'alto", nella tabella sopra, sono sempre il doppio rispetto ai "quadretti verso destra". Questo perché il *rapporto* tra "quadretti verso l'alto" e "quadretti verso destra" è 2; in altre parole, *(quadretti verso l'alto) diviso (quadretti verso destra) = 2* in questo caso specifico. Se moltiplichiamo entrambi i membri della divisione per un qualsiasi fattore, il risultato non cambia. Quattro diviso due fa due esattamente come otto diviso quattro fa sempre due. Per questo motivo, prendendo come inclinazione *(quadretti verso l'alto) diviso (quadretti verso destra)* siamo sicuri di avere un numero che identifichi l'inclinazione in modo univoco. > Se abbiamo un'inclinazione di "*tot* quadretto verso destra, *tot* verso l'alto", diremo semplicemente che abbiamo **un'inclinazione di (quadretti verso destra) diviso (quadretti verso l'alto)**. > Per esempio, l'identità ha un'inclinazione di uno. Infatti, si disegna con "un quadretto verso destra, e uno verso l'alto"; e uno diviso uno è uno. La funzione *doppio* ha un'inclinazione di due: "un quadretto verso destra, due verso l'alto", e due diviso uno è uno. La funzione *metà* ha un'inclinazione di un mezzo: "due quadretti verso destra, uno verso l'alto", e uno diviso due è un mezzo. Più l'inclinazione è un numero alto, più la linea sarà inclinata verso l'alto. Se l'inclinazione è zero, la linea sarà orizzontale. Se l'inclinazione è negativa, la retta andrà verso il basso.

Finora siamo andati ad occhio per misurare l'inclinazione delle funzioni; vediamo di trovare un modo più pratico. Vogliamo capire quanto, la nostra funzione, va "verso destra" e quanto "verso l'alto". Ora, se prendiamo due soluzioni nel grafico della funzione, > Quanto la funzione va *verso destra* è la differenza delle componenti orizzontali dei due punti; quanto la funzione va *verso l'alto* è la differenza delle componenti verticali dei due punti. Infatti: > (GRAFICO QUI) Ricordiamoci che la componente orizzontale è la prima incognita, mentre la componente verticale è la seconda. Prendiamo una funzione (chiamata funzione). Abbiamo visto che > La funzione della prima incognita è la seconda incognita. > Scegliamo due valori per la prima incognita; li chiamerò "primo" e "secondo". In questo caso, > L'inclinazione della funzione è "*primo meno secondo* verso destra, *funzione di primo meno funzione di secondo* verso l'alto". > proprio perché "primo meno secondo" è la differenza di componenti orizzontali, mentre "funzione di primo meno funzione di secondo" è la differenza di componenti verticali. Cambia qualcosa se scegliamo dei valori diversi per "primo" e "secondo"? Nel caso di linee, no: (GRAFICO QUI) Se la funzione fosse più irregolare, avremmo un'inclinazione diversa a seconda di quale due punti scegliamo; ma in questo momento non ci interessa affatto. Concludiamo: abbiamo trovato di quanti "quadretti" si va verso destra e di quanti verso l'alto. Per calcolare l'inclinazione, come abbiamo visto nella scorsa sezione, dividiamo quelli "verso l'alto" per quelli "verso destra". > L'inclinazione della funzione è **(funzione di primo meno funzione di secondo) diviso (primo meno secondo)** >

Abbiamo detto che "quadratini verso destra" corrisponde alla *differenza di componenti orizzontali* e "quadratini verso l'alto" corrisponde alla *differenza di componenti verticali* (di due punti qualsiasi sulla linea). Da questo, un altro modo di esprimere la formula con cui abbiamo concluso la scorsa sezione, semplicemente guardando il grafico, è: > Dati due punti sulla linea, l'inclinazione di questa è la **(differenza di componente verticale) diviso (differenza di componente orizzontale)**. > Adesso vediamo due linee che hanno delle inclinazioni particolari. La prima è la linea orizzontale. Che inclinazione ha? Se prendiamo due punti a caso su una linea orizzontale, vedremo che avremmo un *tot* di differenza di componente orizzontale, però nessuna differenza di componente verticale; questo perché, essendo la retta orizzontale, tutti i suoi punti hanno la stessa componente verticale, e per cui la loro differenza è zero. L'inclinazione è quindi *zero diviso tot*, che è semplicemente zero. Quindi l'inclinazione è zero. Ora parliamo della retta verticale. Per lo stesso ragionamento di cui sopra, abbiamo che - prendendo due punti a caso - abbiamo una differenza di componente verticale di *tot* e una differenza di componente orizzontale nulla. È letteralmente lo stesso ragionamento di cui sopra, ma cambiando 'verticale' e 'orizzontale'. Ora calcoliamo l'inclinazione. "(differenza di componente verticale) diviso (differenza di componente orizzontale)" diventa *tot diviso zero*. Sfortunatamente, non si può dividere per zero, quindi c'è qualche intoppo. L'intoppo è che una linea verticale non è una funzione rispetto alla prima incognita. Per essere una funzione, dobbiamo avere che - scegliendo una componente orizzontale - avremo una e una soltanto soluzione. Ma, essendo una linea verticale, quasi per tutte le componenti orizzontali non ci sarà una soluzione! Se invece scegliamo la componente orizzontale che ha la linea verticale, avremo infinite soluzioni, che è altrettanto sbagliato. Cosa vuol dire questo? Nulla di troppo grave: semplicemente, la nostra misura dell'inclinazione funziona solo con le funzioni. Un paio di precisazioni: visto che più una linea si avvicina alla verticale più la sua inclinazione è alta, si potrebbe dire che l'inclinazione di una linea verticale è "infinito". Io di base non escludo niente, ma ci sono vari motivi per evitare una tale decisione, a meno di fare le adeguate premesse. Vedremo questo più avanti. Infine, ho utilizato un sacco il termine "quadretti". È un termino molto poco matematico, anche se da un'idea chiara, visto che tutti noi abbiamo probabilmente utilizzato un quaderno a quadretti. In realtà dovrei parlare di *unità*, nel senso: "un quadretto a destra" significa aumentare di uno la componente orizzontale. D'altronde, questa non sarà la prima volta che utilizzerò termini inusuali perché sono più chiari; per esempio vedrete, più avanti, le funzioni *felici* e *tristi*.

Finora, la maggior parte delle funzioni lineari che abbiamo visto - quando disegnate - passavano dall'origine (ovvero, *0 e 0* era una soluzione). Ci sono motivi (validi) per chiamare funzioni **lineari** solo ed esclusivamente questa famiglia di funzioni; cioè, richiedere sempre che passino dall'origine. Li vedremo successivamente. Prima, però finiamo di studiare le funzioni "lineari" in senso meno stretto considerando anche quelle che *non* passano per il centro. È facile vedere che se una linea non passa per il centro di un grafico cartesiano, allora incontrerà l'asse verticale in un punto, e l'asse orizzontale in un altro punto: GRAFICO QUI Ricordiamo una cosa importante di come funzionano i grafici cartesiani, che può sembrare filastroccosa ma è in realtà molto semplice: > La componente orizzontale di tutti i punti sull'asse verticale è nulla. > > La componente verticale di tutti i punti sull'asse orizzontale è nulla. > Il punto in cui la nostra linea incontra l'asse *verticale*, quindi, avrà componente *orizzontale* nulla; e il punto in cui la nostra linea incontra l'asse *orizzontale* avrà componente *verticale* nulla. Ricordiamoci che la prima incognita corrisponde alla componente orizzontale e la seconda alla verticale. Quindi, la linea incontra l'asse *verticale* se ha la prima incognita uguale a zero, e quella *orizzontale* se ha seconda incognita pari a zero. In questo caso, sì, l'inclinazione va bene così com'è, ma la componente orizzontale dello zero della seconda incognita è negativa! Quindi avremmo una distanza dall'asse verticale di "meno cinque", che non ha senso. Quindi, in questi casi, il meno andrebbe prima della componente orizzontale, in modo da fare in modo sia sempre positiva: Comunque sia, chiamiamo il punto in cui la prima incognita è zero **zero della prima incognita**, e il punto in cui la seconda incognita è zero **zero della seconda incognita**. Prendiamo lo **zero della seconda incognita**. Questo punto avrà ovviamente *zero* come componente verticale. Ma quanto avrà come componente orizzontale? Allo stesso modo, prendiamo lo **zero della prima incognita**. Questo punto avrà *zero* come componente orizzontale, ma quanto sarà la componente verticale?

Partiamo dallo zero della prima incognita; ovvero, il punto il cui la prima incognita è zero. Vogliamo sapere, in quel punto, che valore avrà la seconda incognita. Ricordiamoci che le funzioni possono essere formulate come *"la funzione della prima incognita è la seconda incognita"*. Ad esempio, *"il doppio di un numero è quel numero per due"*: qui "un numero" è la prima incognita e "quel numero per due" è la seconda incognita. Visto che nello zero della prima incognita la prima incognita è zero, otteniamo che in quel punto *"la funzione di zero è la seconda incognita"*. Quindi, se vogliamo sapere quanto è la seconda incognita, basta calcolare la funzione di zero. Esempio pratico: prendiamo la funzione *doppio*. Nello zero della prima incognita, la prima incognita sarà zero. La seconda incognità sarà *il doppio di zero*, ovvero zero. Quindi lo zero della prima incognita è il punto *zero e zero*; il che ha senso, visto che *zero e zero* è l'origine, e la funzione *doppio* passa per l'origine. Peraltro, in questo modo abbiamo anche scoperto lo zero della seconda incognita, visto che in *zero e zero* anche la seconda incognita è zero. Questo vuol dire che gli zeri delle due incognite coincidono. Facciamo un secondo esempio. Ricordate la funzione che collegava il voto alla prossima verifica, e il voto in pagella? Chiamando questa funzione semplicement "funzione", abbiamo che *"la funzione del voto della prossima verifica è la media di quel voto, sei e mezzo, e sette."* (sei e mezzo e sette erano i voti che avevamo assegnato a questo studente immaginario). Abbiamo che la prima incognita è *il voto della prossima verifica* e la seconda incognita è *il voto in pagella*. Per trovare lo zero della prima incognita, poniamo *il voto della prossima verifica* uguale a zero, e ci chiediamo quanto sia il voto in pagella in quel caso: In questo caso, sì, l'inclinazione va bene così com'è, ma la componente orizzontale dello zero della seconda incognita è negativa! Quindi avremmo una distanza dall'asse verticale di "meno cinque", che non ha senso. Quindi, in questi casi, il meno andrebbe prima della componente orizzontale, in modo da fare in modo sia sempre positiva: > La funzione di zero è (in questo caso) la media tra zero, sei e mezzo, e sette. > Ovvero (0+6.5+7)/3 = 4.5 > Quindi lo zero della prima incognita sarà *zero e quattro e mezzo*.

Nello zero della seconda incognita sappiamo che la seconda incognita è zero. Quindi, *"la funzione della prima incognita è zero"*. In pratica, ci stiamo chiedendo: per quale numero *tot* abbiamo che *la funzione di tot* è zero? Abbiamo visto come calcolare l'inclinazione e abbiamo visto come calcolare lo zero della prima incognita. Uno potrebbe semplicemente "andare ad occhio", ma sarebbe bello avere una formula precisa. Visto che l'inclinazione è abbastanza facile da calcolare, e lo zero della prima incognita è molto facile da calcolare (*la funzione di zero*), sarebbe bello riuscire ad avere la formula in base a questi due valori. Facciamo due esempi per schiarirci le idee. Supponiamo di avere una linea che ha, come componente dello zero della prima incognita, dieci; Ovvero, passa dal punto con componente orizzontale zero e componente verticale dieci: GRAFICO In questo caso, sì, l'inclinazione va bene così com'è, ma la componente orizzontale dello zero della seconda incognita è negativa! Quindi avremmo una distanza dall'asse verticale di "meno cinque", che non ha senso. Quindi, in questi casi, il meno andrebbe prima della componente orizzontale, in modo da fare in modo sia sempre positiva: Supponiamo che abbia un'inclinazione di meno due; ovvero, l'inclinazione sia "un quadretto verso destra, meno due verso l'alto", ovvero "un quadretto verso destra, due verso il basso". Iniziando a disegnare dal punto in cui sappiamo questa linea passa (*zero e dieci*), quanto a destra dobbiamo spostarci perché la linea tocchi l'asse orizzontale? Beh, visto che partiamo da una componente verticale di dieci, dopo un quadretto saremo a otto. Dopo due quadretti, a sei. Dopo tre quadretti, a quattro. Dopo quattro, a due. Dopo cinque, a zero; ovvero, tocchiamo l'asse orizzontale nel punto *cinque e zero*. GRAFICO Avremmo potuto arrivarci semplicemente facendo: dieci diviso due uguale cinque. Ora, supponiamo che l'inclinazione sia di *due* invece di *meno due*. Questo vuol dire che, se continuamo a disegnare la linea in avanti, continueremo a salire per sempre: GRAFICO divenat Quindi, lo zero della seconda incognita (ovvero, dove tocca l'asse orizzontale la linea) dev'essere *prima* dell'asse verticale, non *dopo*. Un'inclinazione di "un quadretto a destra, due verso l'alto" è la stessa cosa di "un quadretto a sinistra, due verso il basso" (e noi dobbiamo andare verso il basso). Dovremmo spostarci quindi cinque quadretti a sinistra per raggiungere lo zero della seconda incognita; ovvero, lo zero della seconda incognita è *zero e meno cinque* (e, di nuovo, dieci diviso due è cinque). Ricapitolando: possiamo trovare lo zero della seconda incognita partendo dallo zero della prima incognita e - visto che sappiamo l'inclinazione - disegnando la linea verso sinistra o destra finché non tocchiamo l'asse orizzontale. Possiamo considerare *l'inclinazione* come "quanto saliamo ad ogni quadretto". Considerando l'opposto dell'inclinazione (per esempio, *-2* invece di *2*) abbiamo "quanto *scendiamo* ad ogni quadretto". E la componente verticale dello zero della prima incognita è "quanto dobbiamo scendere per toccare l'asse orizzontale". Quindi, > (quanto dobbiamo scendere per toccare l'asse orizzontale) / (quanto scendiamo ad ogni quadretto) = quanti quadretti verso destra percorriamo prima di toccare l'asse orizzontale > ovvero > (componente verticale dello zero della prima incognita) / (-inclinazione) = componente orizzontale dello zero della seconda incognita > ovvero In questo caso, sì, l'inclinazione va bene così com'è, ma la componente orizzontale dello zero della seconda incognita è negativa! Quindi avremmo una distanza dall'asse verticale di "meno cinque", che non ha senso. Quindi, in questi casi, il meno andrebbe prima della componente orizzontale, in modo da fare in modo sia sempre positiva: > (funzione di zero) / (-inclinazione) = componente orizzontale della zero della seconda incognita > che è il valore che cercavamo.

Per quanto abbiamo visto sia proprio facile trovare lo zero della prima incognita (è il punto con componente orizzontale *zero* e verticale *funzione di zero*) per completezza mostriamo come possiamo calcolarlo partendo dall'inclinazione e dallo zero della seconda incognita. Allora, l'obiettivo è iniziare a disegnare una linea con l'inclinazione data dallo zero della seconda incognita finché non incontra l'asse verticale, e a quel punto vedere quanto siamo "saliti":divenat GRAFICO Allora, l'inclinazione come l'abbiamo definita è "tot quadretti a destra, tot quadretti verso l'alto". In questo caso però dobbiamo andare a *sinistra*, quindi prendiamo l'opposto dell'inclinazione (*-inclinazione*). Abbiamo che i quadretti che percorriamo per arrivare all'asse verticale sono uguali alla componente orizzontale dello zero della seconda incognita; quindi: > (quadretti che percorriamo per arrivare all'asse verticale) * (quadretti verso l'alto ad ogni quadretto verso sinistra) = quadretti verso l'alto totali > ovvero > (componente orizzonatle dello zero della seconda incognita) * (-inclinazione) = (componente verticale dello zero della prima incognita) > che è quello che cercavamo. Faccio anche una piccola precisazione sui segni. Ho detto in questa sezione che "vogliamo andare verso sinistra", ma il punto da cui partiamo potrebbe trovarsi già a sinistra dell'asse verticale. Nello stesso modo, ho detto nella scorsa sezione che "vogliamo andare verso il basso", ma il punto da cui partiamo potrebbe trovarsi già sotto l'asse orizzontale. Potremmo quindi dire che non serve il meno prima dell'inclinazione in questi casi. C'è un problema, e prendiamo quello di cui parlavamo in questa sezione: GRAFICO In questo caso, sì, l'inclinazione va bene così com'è, ma la componente orizzontale dello zero della seconda incognita è negativa! Quindi avremmo una distanza dall'asse verticale di "meno cinque", che non ha senso. Quindi, in questi casi, il meno andrebbe prima della componente orizzontale, in modo da fare in modo sia sempre positiva: > (- componente orizzonatle dello zero della seconda incognita) * (inclinazione) = (componente verticale dello zero della prima incognita) > Però "*meno* qualcosa per qualcos'altro" e "qualcosa per *meno* qualcos'altro" sono la stessa identica cosa, quindi possiamo spostare il meno prima dell'inclinazione senza che il risultato cambi: > (componente orizzonatle dello zero della seconda incognita) * (-inclinazione) = (componente verticale dello zero della prima incognita) > Ch è la stessa formula di prima. Insomma, le formule che abbiamo mostrato valgono sempre, e non abbiamo bisogno di aggiustare i segni ogni volta.

Come vedremo tra poco, ci sono funzioni che a prima vista sembrano molto diverse - per come sono formulate - ma che in realtà sono uguali; nel senso, hanno le stesse identiche soluzioni. Per fare un esempio semplice: "il primo numero è il secondo numero più uno" e "il primo numero meno uno è il secondo uno" hanno le stesse identiche soluzioni. Quello che voremmo fare, a questo punto, è trovare il modo più semplice possibile di esprimere una funzione lineare, e scoprire come esprimere qualsiasi funzione lineare in quel modo. Questo ci semplificherà tanto i conti se avremo mai a che fare con funzioni lineari che hanno un aspetto orribile. Per sottolineare questo punto, facciamo subito un esempio di una funzione lineare con un aspetto terribile.

Uno potrebbe a questo punto chiedersi ragionevolmente perché abbiato tirato fuori tutto questo casino quando lavorare con le funzioni lineari è solitamente molto facile. Ad esempio, perché usare la formula dell'inclinazione, quando possiamo disegnare il grafico o - a volte - semplicemente leggere la funzione? Della funzione *doppio*, per dire, possiamo dire che l'inclinazione è due anche senza usare la formula. Per farvi capire il perché di tutto questo, vi propongo questa funzione, che chiamerò *disastro*: > Il disastro di *tot* è: (*tot* alla quinta meno cinque per *tot* alla quarta meno trentacinque per *tot* alla terza più centoventicinque per *tot* alla seconda più centonovantaquattro per *tot* meno duecentoottanta) diviso (*tot* alla quarta meno quattro per *tot* alla terza meno trentanova per *tot* alla seconda più ottantasei per *tot* più duecentoottanta) > Ora, supponiamo di avere per certo (perché ve lo dico io) che questa funzione è lineare. Supponiamo anche di doverla analizzare, questa funzione. Intanto, così è proprio illeggibile. Per semplificarci la vita, utilizziamo **"x"** al posto di *tot*, **"+"** al posto di *più*, $\frac{qualcosa}{qualcosaltro}$ per *diviso*, **"="** al posto di *è*, ${x}^2$ per indicare *tot alla seconda*, $x^3$ per indicare *tot alla terza* e così via. Insomma, passiamo al "matematichese": > disastro di $x = \frac{x^5 - 5x^4 - 35x^3 + 125x^2 + 194x - 280}{x^4 - 4x^3 - 39x^2 + 86x + 280}$ > Ancora un disastro, ma almeno leggibile. Riuscite a vedere ad occhio l'inclinazione, o gli zero? No? Neanche io. Ma adesso le troviamo con un po' di pazienza e una calcolatrice. Iniziamo dallo zero della prima incognita. Abbiamo visto che: > La componente verticale dello zero della prima incognita è la funzione di zero (in questo caso, il disastro di zero) > Calcoliamo il disastro di zero: > disastro di $0 = \frac{0^5 - 5*0^4 - 35*0^3 + 125*0^2 + 194*0 - 280}{0^4 - 4*0^3 - 39*0^2 + 86*0 + 280}$ > Ok, ricordiamoci che "zero alla seconda" è zero, "zero alla terza" è zero, e così via: > disastro di $0 = \frac{0 - 5*0 - 35*0 + 125*0 + 194*0 - 280}{0 - 4*0 - 39*0 + 86*0 + 280}$ > Ok, ricordiamoci che "zero per qualsiasi cosa" è zero: > disastro di $0 = \frac{0 - 0 - 0 + 0 + 0 - 280}{0 - 0 - 0 + 0 + 280} = \frac{-280}{280}$ > Ricordiamoci che "qualcosa diviso se stesso" è uno. In realtà, -280 non è 280, ma "*meno* qualcosa diviso se stesso" è *meno* uno. Quindi, *il disastro di zero è meno uno*. Non serviva neanche la calcolatrice. Passiamo all'inclinazione. La formula è, scegliendo due numeri *primo* e *secondo*: > (funzione di primo meno funzione di secondo) diviso (primo meno secondo) > Primo e secondo sono a nostra scelta. Prendiamo "zero" come primo, visto che abbiamo già calcolato la funzione di zero. Come secondo prendiamo uno, che è un numero piccolo che probabilmente non farà diventare troppo difficili i calcoli; per esempio, possiamo usare il fatto che uno alla seconda è uno, uno alla terza è uno, eccetera. Calcoliamo la funzione di uno: > disastro di $1 = \frac{1^5 - 5*1^4 - 35*1^3 + 125*1^2 + 194*1 - 280}{1^4 - 4*1^3 - 39*1^2 + 86*1 + 280}$ > Ricordiamoci che uno alla seconda è uno, eccetera: > disastro di $1 = \frac{1 - 5*1 - 35*1 + 125*1 + 194*1 - 280}{1 - 4*1 - 39*1 + 86*1 + 280}$ > Ricordiamoci che qualsiasi numero per uno è quel numero: > disastro di $1 = \frac{1 - 5 - 35 + 125 + 194 - 280}{1 - 4 - 39 + 86 + 280}$ > Tiriamo le somme: > disastro di $1 = \frac{0}{324}$ > Ricordiamoci che zero diviso qualsiasi cosa fa zero, e abbiamo che *il disastro di uno è zero*. Quindi, inserendo tutto nella formula dell'inclinazione: > inclinazione del disastro = (funzione di primo meno funzione di secondo) diviso (primo meno secondo) > diventa > inclinazione del disastro = (funzione di zero meno funzione di uno) diviso (zero meno uno) > diventa > inclinazioe del disastro = (meno uno meno zero) diviso (meno uno) = (meno uno) diviso (meno uno) = uno > Ecco che nonostante questa funzione sia disastrosa, ne abbiamo trovato uno zero e l'inclinazione. A questo punto saremmo anche in grado di disegnarla, partendo dal punto *zero e meno uno* (che è lo zero della prima incognita) e proseguendo *un quadretto verso destra, un quadretto verso l'alto*. Potremmo anche calcolare lo zero della seconda incognita, ma in realtà vedremo che ci interessa meno. Il nostro obiettivo, ora, è riuscire a buttare via proprio tutta la funzione "disastro" così come l'avevamo scritta e riscriverla nuovamente in modo semplice e chiaro. Vedremo che, fatto questo, avremo che > Il disastro di un numero è quel numero meno uno > tutto qui. Sembrava un disastro ma, sotto sotto, non lo era affatto.

Partiamo da un presupposto importante: *se due funzioni lineari hanno la stessa inclinazione e lo stesso zero della prima incognita, sono la stessa funzione*. Perché? Beh, due funzioni sono uguali se hanno le stesse soluzioni, ovvero se il loro grafico è uguale. Quindi due funzioni lineari sono uguali se le linee che descrivono sono uguali. Se due linee hanno la stessa *inclinazione* e basta, non è detto siano la stessa linea, perché potrebbero partire da punti diversi. Ma se diciamo che hanno la stessa *inclinazione* e lo stesso *zero della seconda incognita*, ovvero hanno la stessa inclinazione e possiamo iniziare a disegnarle dallo stesso punto, chiaramente saranno uguali. GRAFICO QUI Passiamo al prossimo presupposto: prendendo un numero *tot* e con la funzione *"la funzione di un numero è quel numero per tot"*, abbiamo che questa funzione è lineare e la sua inclinazione è tot. Per fare qualche esempio, se tot è due, la funzione sarà *doppio*, e abbiamo visto che la sua inclinazione è due. Se tot è un mezzo, la funzione è metà, e l'inclinazione è un mezzo, e così via. Per sicurezza, dimostriamo questo fatto formalmente utilizzando la formula per l'inclinazione. > Con due numeri "primo" e "secondo", l'inclinazione di una funzione è (funzione di primo meno funzione di secondo) diviso (primo meno secondo) > Possiamo scegliere liberamente primo e secondo; prendiamo uno come primo e zero come secondo: > L'inclinazione è (funzione di uno meno funzione di zero) diviso (uno meno zero) > Che diventa (uno meno zero è uno, e dividere per uno non cambia il risultato): > L'inclinazione è funzione di uno meno funzione di zero > Ovvero > L'inclinazione è uno per tot meno zero per tot > "tot per zero" è zero, mentre "tot per uno" è tot. Quindi l'inclinazione è tot. GRAFICO QUI Ultimo presupposto: supponiamo di avere un numero chiamato *inclinazione* (che sostituisce il *tot* di prima), e un altro numero chiamato sempre *tot*. Prendiamo la funzione *"la funzione di un numero è quel numero per l'inclinazione più tot"*. in pratica, uguale a prima, però sommando tot al risultato. Intanto, potete facilmente verificare che l'inclinazione è ancora "inclinazione" (phew!); ovvero, aggiungere un numero al risultato sempre uguale non cambia l'inclinazione. Invece, sposta la funzione verso l'alto: GRAFICO QUI Ecco, l'ultima cosa che voglio dimostrare è che *lo zero della prima incognita è tot*. È facilissimo: > Lo zero della prima incognita è la funzione di zero > Ovvero > Lo zero della prima incognita è zero per l'inclinazione più tot > E, visto che qualsiasi cosa per zero è zero, > Lo zero della prima incognita è tot > Cambiamo il nome "tot" in "zero della prima incognita". Abbiamo quindi che la funzione > La funzione di un numero è quel numero per l'inclinazione più lo zero della prima incognita > È una funzione lineare con inclinazione "inclinazione" e zero della prima incognita è "zero della prima incognita". Per concludere, supponiamo di avere una funzione disastrosa come quella della scorsa sezione. Possiamo sempre calcolarne l'inclinazione (uno, in quel caso) e zero della prima incognita e lo zero della prima incognita (meno uno, in quel caso). Allora, possiamo sempre riscrivere quella funzione disastrosa come > La funzione disastrosa di un numero è quel numero per l'inclinazione (che abbiamo calcolato) più lo zero della prima incognita (che abbiamo calcolato) > Perché abbiamo appena visto che riscrivendola in questo modo l'inclinazione sarà quella che abbiamo calcolato, e lo zero della prima incognita anche. E abbiamo visto a inizio sezione che due funzione con la stessa inclinazione e lo stesso zero della prima incognita sono la stessa funzione. Questi due fatti assieme dimostrano che l'affermazione sopra è effettivamente vera. In particolare, la funzione della stessa sezione può essere riscritta come (l'inclinazione era uno, e lo zero della prima incognita meno uno): > Il disastro di un numero è quel numero per uno più (meno uno) > Un numero per uno è sempre il numero, e "più (meno uno)" diventa semplicemente "meno uno", ovvero: > Il disastro di un numero è quel numero meno uno. > Che è chiarmente molto, molto, molto più semplice da utilizzare rispetto a come era scritta originariamente.

Le funzioni lineari si riveleranno assolutamente fondamentali in tutto il mondo matematico. Sono strumenti particolarmente utili perché rappresentano siano tanto un sacco di funzioni, ma anche perché possono essere utilizzate per descrivere linee nel piano cartesiano. Diventano quindi anche uno strumento geometrico. Vediamo alcune applicazioni per risolvere alcuni problemi geometrici con le funzioni lineari. Un problema abbastanza stupido che potremmo voler affrontare: mettiamo di sapere che su un terreno ci sono due binari dritti. Mettiamo di sapere le coordinate di alcuni punti per cui passano questi binari. Come facciamo a capire dove si incontreranno, per metterci un bel semaforo? Possiamo mettere le coordinate su un piano cartesiano, trovare le funzioni lineari (=linee dritte) che passano per quei punti, e vedere dove *intersecano* (ovvero, dove le due linee si incontrano). GRAFICO QUI

Partiamo da un presupposto: se abbiamo due punti, tra quei due punti passerà una e una sola linea. (Immaginate che casino se per due punti distinti passassero più linee dritte diverse contemporeaneamente. Sarebbe un bel casino, no? Ecco, ci arriveremo con le geometrie non euclidee). GRAFICO Quindi, il lavoro è semplice: dobbiamo trovare la funzione lineare che descrive la linea che passa per quei due punti. I due punti avranno delle componenti orizzontali (chiamiamole *primo* e *secondo*) e delle componenti verticali (chiamiamole *funzione di primo* e *funzione di secondo*, visto che *funzione della componente orizzontale è la componente verticale*). Iniziamo dalla parte semplice: l'inclinazione. Abbiamo già la formula pronta: > L'inclinazione di una funzione è (funzione di primo meno funzione di secondo) diviso (primo meno secondo). > Adesso viene la parte un filo più complessa: dobbiamo trovare lo zero della prima incognita. Fatto quello, potremmo utilizzare quello che abbiamo scoperto nelle sezioni precedenti per creare la funzione lineare "standard", che passerà per i due punti. Vediamo la situazione: GRAFICO Partiamo dal punto "primo" e continuiamo la linea fino a raggiungere l'asse verticale. La domanda è: di quanto scenderà (o salirà) la nostra linea, partendo da "primo", prima di raggiungere l'asse verticale? Ricordiamoci che l'inclinazione "tot verso destra, tot verso l'alto" è la stessa cosa di "tot verso sinistra, tot verso il basso". Quanto devo andare a sinistra prima di incontrare l'asse verticale? GRAFICO La distanza tra "primo" e l'asse verticale è proprio la componente orizzontale di "primo". Visto che l'inclinazione ci dice *ad ogni quadretto verso sinistra, quanto andiamo verso il basso* mentre la componente orizzontale di "primo" è *quanti quadretti vado a sinistra prima di incontrare l'asse verticale*, abbiamo che in totale andremo verso il basso di questa quantità: > (componente orizzontale di primo) * (inclinazione) = quanto vado verso il basso prima di raggiungere l'asse verticale > Qual è l'altezza da cui partiamo? GRAFICO Partiamo dall'altezza di "componente verticale di 'primo'". Quindi alla fine la nostra altezza, quando raggiungeremo l'asse verticale? > Componente verticale quando raggiungo l'asse verticale = componente verticale da cui parto - quanto vado verso il basso prima di raggiungere l'asse verticale > Ovvero, > Componente verticale quando raggiungo l'asse verticale = (componente verticale di primo) - (componente orizzontale di primo) * (inclinazione) > Che in numeri è > Zero della prima incognita = (funzione di primo) - primo * inclinazione > Visto che abbiamo lo zero della primo incognita e l'inclinazione, possiamo trovare la funzione che cercavamo con la solita formula > La funzione di un numero è quel numero per l'inclinazione più lo zero della prima incognita >

Supponiamo di avere ora due funzioni lineari; chiamiamole, la "prima" funzione lineare e la "seconda" funzione lineare. Ora, noi sappiamo sommare due *numeri*. Ci chiediamo cosa succede se sommiamo due *funzioni lineari*. Le due funzioni saranno esprimibili in questo modo > La prima funzione di un numero è *qualcosa* di quel numero. > > La seconda funzione di un numero è *qualcos'altro* di quel numero. > Non sappiamo che funzioni siano, quindi non sappiamo cosa sia "qualcosa" e "qualcos'altro". Noi potremmo dire che la somma di funzioni lineari è questa: > La (prima funzione più la seconda funzione) di un numero è (*qualcosa* di quel numero più *qualcos'altro* di quel numero) > In pratica: scegliamo un numero, lo diamo alle due funzioni, e sommiamo il risultato delle due funzioni. Questa somma la possiamo fare per qualsiasi numero, e ci darà sempre lo stesso risultato, quindi è anch'essa una funzione, che chiamiamo appunto "somma delle due funzioni", o "prima funzione più la seconda funzione". Cerchiamo di capire cosa significa questo per le nostree linee. Prendiamo il grafico di due funzioni lineari a caso: GRAFICO QUI Prendiamo un numero sull'asse orizzontale, per esempio due, e vediamo a quale componente verticale corrisponde questo numero per le due funzioni: GRAFICO QUI E facciamo la somma di questi due valori: GRAFICO QUI In questo modo, abbiamo la componente verticale della somma delle due funzioni. Questo possiamo farlo per ogni punto sull'asse orizzontale: GRAFICO QUI E vediamo che otteniamo una nuova linea. Quindi, la somma di queste due funzioni lineari sarà una nuova funzione lineare! In generale, possiamo fare questo processo varie volte, sommando funzioni lineari diverse, e vediamo che otterremo sempre funzioni lineari come risultato: GRAFICO QUI Sorgono quindi un paio di domande: > Abbiamo una funzione con zero della prima incognita "tot". > > Ne abbiamo un altra con zero della prima incognita "quid". > > ("quid" è un sinonimo di "tot") > > Quale sarà lo zero della prima incognita della loro somma? Usiamo la formula: > Lo zero della prima incognita della funzione è la funzione di zero > che diventa > Lo zero della prima incognita della somma di funzioni sarà la somma delle funzioni di zero > Per calcolare la somma delle funzioni di zero, calcoliamo la "prima funzione di zero", poi la "seconda funzione di zero", e sommiamo i risultati. Ma, per la stessa formula che abbiamo sopra, la prima funzione di zero è lo zero della prima incognita della prima funzione, e la seconda funzione di zero è lo zero della prima incognita della seconda funzione. E ci rimane solo sommarle assieme. Quindi, sommando due funzioni lineari, otteniamo una nuova funzione lineare, e per trovare lo zero della prima incognita di questa nuova funzione basta sommare lo zero della prima incognita delle altre due. > Qual è l'inclinazione della somma di (una funzione lineare con inclinazione *tot* e una funzione lineare con inclinazione *quid*)? > Potremmo usare la formula per l'inclinazione, ma è molto più semplice. Abbiamo che l'inclinazione è "uno verso destra, tot verso l'alto" (nel primo caso) e "uno verso destra, quid verso l'alto" (nel secondo caso). Visto che la somma di funzioni semplicemente somma i valori delle due funzioni in ogni punto avremo che: andando uno a destra, andremo anche *tot* verso l'alto (grazie alla prima funzione) **più** *quid* verso l'alto. Quindi l'inclinazione è: "uno verso destra, tot+quid verso l'alto". In pratica, stiamo solo sommando l'inclinazione.